\(log_{a^2}\left(\dfrac{a^3}{\sqrt[5]{b^3}}\right)=\dfrac{1}{2}log_a\left(\dfrac{a^3}{\sqrt[5]{b^3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left[log_aa^3-log_a\sqrt[5]{b^3}\right]=\dfrac{1}{2}\left(3-\dfrac{3}{5}log_ab\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(3-\dfrac{3}{5}log_ab\right)=3\)

\(\Rightarrow log_ab=-5\)

\(P=log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}a+log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}\sqrt[3]{b}=log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}a+\dfrac{1}{3}log_{\dfrac{\sqrt{a}}{b}}b\)

\(=\dfrac{1}{log_a\dfrac{\sqrt{a}}{b}}+\dfrac{1}{3.log_b\dfrac{\sqrt{a}}{b}}=\dfrac{1}{log_a\sqrt{a}-log_ab}+\dfrac{1}{3\left(log_b\sqrt{a}-log_bb\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-2}+\dfrac{1}{3\left(\dfrac{1}{4}-1\right)}=-\dfrac{10}{9}\)

\(P=3log_{a^2b}a-\dfrac{3}{4}log_a2.log_2\left(\dfrac{a}{b}\right)\)

\(=\dfrac{3}{log_a\left(a^2b\right)}-\dfrac{3}{4.log_2a}.\left(log_2a-log_2b\right)\)

\(=\dfrac{3}{log_aa^2+log_ab}-\dfrac{3}{4.log_2a}.log_2a+\dfrac{3}{4}.\dfrac{log_2b}{log_2a}\)

\(=\dfrac{3}{2+3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}.log_ab=\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{21}{10}\)

\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\\ \Rightarrow ad+ab< bc+ab\\ \Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\)

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với $a,b>0$ thì $a^2+b^4\ge ab(a^2+b^2)$

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: $(a-b{)}^2(a^2+ab+b^2)\ge 0$ (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

$\Rightarrow \frac{c}{a^4+b^4+c}\le \frac{c}{ab(a^2+b^2)+c^{2}ab}=\frac{c}{ab(a^2+b^2+c^2}$

Nó bị mất cái dấu gạch ngang chỗ phân số nha b

Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:

Với $a,b>0$ thì $a^2+b^4\ge ab(a^2+b^2)$

Cách CM:

BĐT trên tương đương với: $(a-b{)}^2(a^2+ab+b^2)\ge 0$ (luôn đúng)

Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :

$\Rightarrow \frac{c}{a^4+b^4+c}\le \frac{c}{ab(a^2+b^2)+c^{2}ab}=\frac{c}{ab(a^2+b^2+c^2}$

Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)

Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:

\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)

Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được

thử bài bất :D 

Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)

Hoàn toàn tương tự: 

\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)

\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)

Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:

\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)

Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )

Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D 

ca này để thầy lâm ròi:<

\(\left(a^2+b+c+d\right)\left(1+b+c+d\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b+c+d}\le\dfrac{1+b+c+d}{16}=\dfrac{5-a}{16}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{b^2+c+d+a}\le\dfrac{5-b}{16}\) ...

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{20-\left(a+b+c+d\right)}{16}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

Bunhiacopxki:

\(\left(a^2+b+c+d\right)\left(1+b+c+d\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b+c+d}\le\dfrac{1+b+c+d}{16}\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{b^2+c+d+a}\le\dfrac{1+c+d+a}{16}\) ; \(\dfrac{1}{c^2+d+a+b}\le\dfrac{1+d+a+b}{16}\)

\(\dfrac{1}{d^2+a+b+c}\le\dfrac{1+a+b+c}{16}\)

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{4+3\left(a+b+c+d\right)}{16}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)